【摘要】采用合理的振型假設(shè)，對斜拉橋施工最大雙懸臂狀態(tài)的抖振響應(yīng)進(jìn)行了簡化計算，同時對結(jié)構(gòu)的背景響應(yīng)也進(jìn)行了研究，得到了一系列適用于橋梁抗風(fēng)設(shè)計初步估算的計算公式。同時結(jié)合南京長江二橋、福州閩江大橋以及荊沙長江大橋進(jìn)行了算例分析。
關(guān)鍵詞 斜拉橋 抖振 最大雙懸臂 背景響應(yīng) 振型假設(shè)
大跨斜拉橋在外部風(fēng)荷載的作用下，結(jié)構(gòu)上的抖振響應(yīng)是不容忽視的。一般來說，由于素流成分和運動分量之間的相互作用，各類風(fēng)致振動之間的相互干擾現(xiàn)象，以及各運動分量的氣動耦合和各階振型之間的耦會等因素，精確計算抖振響應(yīng)是較為困難的。但大量的風(fēng)洞試驗和理論計算表明，影響抖振振幅的主要是結(jié)構(gòu)前幾個振型的貢獻(xiàn)，尤其是基階振型的貢獻(xiàn)。因此在對結(jié)構(gòu)抖振響應(yīng)進(jìn)行初步分析時，可只取第一階振型來計算，從而對抖振響應(yīng)作出快速估計。
在斜拉橋的施工階段，抖振響應(yīng)也應(yīng)予以重視，因為施工中過大的抖振振幅將不利于橋上施工人員和施工機械的安全。在斜拉橋的橋塔建成后，主梁往往采用懸臂拼裝法施工。在主梁尚未在跨中合龍前，由于斜拉索、邊跨輔助墩以及施工臨時墩等結(jié)構(gòu)因素的影響，經(jīng)常會出現(xiàn)風(fēng)振不利狀態(tài)，加施工最大雙懸臂狀態(tài)和最大單懸臂狀態(tài)等，這種現(xiàn)象在大跨橋梁的風(fēng)洞試驗中也得到了證實，因此不能忽視斜拉橋施工階段的風(fēng)振響應(yīng)。考慮到施工周期的影響，可以在風(fēng)速取較低保證率的前提下分析斜拉橋施工階段的抖振。本文將重點討論斜拉橋施工最大雙懸臂狀態(tài)時的抖振響應(yīng)問題。
一、基本假定
為便于分析，在下面的公式推導(dǎo)及計算中，采用了如下基本假定：①橋梁結(jié)構(gòu)周圍的地形近似水平，且在足夠大的范圍內(nèi)，地表粗糙度沒有大的變化；②結(jié)構(gòu)是線彈性的，可以采用位移疊加原理心結(jié)構(gòu)對風(fēng)荷載的抖振響應(yīng)主要是第一階振型的貢獻(xiàn)，二階或更高階振型的影響可忽略不計。對于本文所討論的雙懸臂狀態(tài)，可近似將第一階振型取為一次比例函數(shù)的形式，即φ（X）＝X／L；④各振動模態(tài)間不存在氣動耦合；⑤風(fēng)速互譜的作用可以忽略不計，這樣處理給抖振力譜帶來的誤差僅在5％～7％之間［1］。
二、抖振位移響應(yīng)的簡化計算方法
1．基本理論
依據(jù)隨機振動理論，抖振位移響應(yīng)的根方差與功率譜密度函數(shù)之間存在著下面的關(guān)系：
以結(jié)構(gòu)水平側(cè)向抖振為例，其抖振位移響應(yīng)的根方差為：
2．公式推導(dǎo)
由聯(lián)合接受函數(shù)的表達(dá)可以看出其大小主要取決于振型函數(shù)的形式。由前面的基本假定，在下面的分析中，均假設(shè)跨度為2L（橋塔到兩個懸臂端的長度均假定為L）的橋梁結(jié)構(gòu)的第一階側(cè)向彎曲振型函數(shù)(即一階側(cè)擺）為φ1（x）＝x／L。則第一階振型的廣義質(zhì)量為mp=2/3m(x)L，其中，m（x）為主梁跨向單位長度質(zhì)量，在本文中均假定質(zhì)量沿跨長均勻分布，即有m（x）＝ m0。
其中， c＝λnL／U，λ為反映風(fēng)譜空間相關(guān)性的系數(shù)，一般偏保守地取為7。
將各項適當(dāng)合并后，得到側(cè)向抖振響應(yīng)根方差的表達(dá)：
其中，
下面采用曲線擬會的方法對它進(jìn)行近似求解。
上式中，右端第一項即為背景響應(yīng)分量，第二項為共振響應(yīng)分量。由此可以得到背景響應(yīng)與共振響應(yīng)之間的比值為
將風(fēng)速譜、聯(lián)合接受函數(shù)以及氣動導(dǎo)納函數(shù)（取為Sears函數(shù)）代人E（n）的表達(dá)式中，有
其中，f＝nz／U為莫寧坐標(biāo)； c＝λnL／U=λ（L／z）f，K＝Bω／U＝2π(B／z）f。
若令f1=n1z/U，則有
其中，T0，T1是對G（f）進(jìn)行指數(shù)曲線擬會求解積分值后的參數(shù)（見圖1，此處，L／Z＝10，B／Z＝0.5）。一般有
雖然實際曲線在低頻段與擬會曲線差異較大，但由于在擬合時以曲線和兩個坐標(biāo)軸間包圍的面積作為控制參數(shù)，因此，積分值的精度得到很好保證。經(jīng)研究，兩者的誤差在1％以內(nèi)。參數(shù)、可按下面的原則取值，即T0≈max［G（f）」，這樣將使擬會的誤差盡可能地減小。
參數(shù)T0，T1一般可由附表 1～2，對具體橋梁結(jié)構(gòu)的參數(shù)L／Z，B／Z，通過線性內(nèi)插得到。
經(jīng)整理，最后可得側(cè)向抖振響應(yīng)根方差的最大值（振型函數(shù)值為1處，即懸臂端）為
3．豎向及扭轉(zhuǎn)抖振位移響應(yīng)的計算
這兩種振動形式的處理與上面所述的側(cè)向運動有所不同，主要體現(xiàn)在抖振力譜的表達(dá)形式上。豎向和扭轉(zhuǎn)抖振力譜分別為
式（12）、（13）均是兩項和的形式，因此可以對各項單獨考慮，而后再組合在一起。此處略去具體的處理過程，僅給出具體結(jié)果。豎向抖振響應(yīng)根方差的最大值為
TO1，T11，T02，T12為擬合參數(shù)，其中，T01，T11的選取與上節(jié)T0，T1的選取完全相同，
具體可參見附表1、附表2；參數(shù)T01，T12的選取則參見附表3、附表4。
同理可得扭轉(zhuǎn)抖振響應(yīng)根方差最大值的簡化表達(dá)為：
4．結(jié)構(gòu)背景響應(yīng)分析
在上面的一系列抖振響應(yīng)表達(dá)式中，均涉及到參數(shù)α。它定義為結(jié)構(gòu)背景響應(yīng)部分與共振響應(yīng)部分的比值（該處所謂的響應(yīng)是廣義的，并不是具體的抖振響應(yīng)數(shù)值）。一般來說，背景響應(yīng)在一定的條件下，有可能超過共振響應(yīng)從而占據(jù)主導(dǎo)地位；因此，背景響應(yīng)部分一般不容忽略。
若僅考慮共振響應(yīng)，則各振型的抖振響應(yīng)根方差可表達(dá)為
根據(jù)參數(shù)α的定義，可以計算出背景響應(yīng)在結(jié)構(gòu)總體響應(yīng)中所占的比例。令背景響應(yīng)比例因子為β，則有
分別代入三個方向的抖振響應(yīng)根方差，就可以得到產(chǎn)基于不同振型的表達(dá)：
關(guān)于背景響應(yīng)比例因子的討論，可參見下節(jié)的算例分析。
三、算例分析
1．基本資料
（l）南京長江二橋
該橋位于長江在南京河段的八卦洲漢道處。其中南漢主航道橋設(shè)計方案為帶輔助墩的雙塔斜索面銅箱梁斜拉橋，主跨628m。橋塔為混凝土結(jié)構(gòu)，由雙柱組成倒Y形，主梁為帶風(fēng)嘴的閉口鋼箱梁。
（2）福州閩江大橋
該橋位于福州市馬尾區(qū)青州路及長樂縣籌東村之間，是福州長樂國際機場連接福州市區(qū)的專用通道上跨越閩江的交通工程。新方案為主跨 605m的 A型雙塔斜索面、 Ⅰ字型邊主梁結(jié)合梁斜拉橋。
（3）荊沙長江大橋（北漢）
該橋位于湖北省荊沙市，北起荊沙市太岳路與南湖路交叉口，與南岸公安縣陳沙公路相接。其中北漢通航孔橋為主跨500m的H型雙塔雙索面預(yù)應(yīng)力混凝土斜拉橋，主梁采用分離式邊主梁斷面。
三座大橋用于抖振響應(yīng)計算的基本數(shù)據(jù)一并列于表1中。
2．計算結(jié)果及分析
表2給出了用本文所述方法對三座大橋施工最大雙懸臂狀態(tài)的懸臂端抖振位移響應(yīng)根方差和背景響應(yīng)比例因子的計算結(jié)果，并與數(shù)值計算的結(jié)果進(jìn)行了比較。
計算結(jié)果分析：
①誤差分析。在不考慮背景響應(yīng)時，采用本文簡化方法的計算結(jié)果與文獻(xiàn)中給出的結(jié)果較為接近，誤差基本上在20％以內(nèi)，在大跨橋梁抗風(fēng)設(shè)計的初步階段，可用來對結(jié)構(gòu)的抖振響應(yīng)做出快速估計。
②背景響應(yīng)的影響。結(jié)構(gòu)的背景響應(yīng)在一定條件下會很顯著，甚至超越共振響應(yīng)從而占據(jù)主導(dǎo)地位。從表中還可以看出，豎向抖振響應(yīng)的背景分量一般均較小，這主要是由于結(jié)構(gòu)一階豎彎頻率都較低的原因。一般地，結(jié)構(gòu)的跨度、寬度、阻尼比、頻率以及風(fēng)速、地表粗糙程度等都會對背景響應(yīng)產(chǎn)生一定的影響。
四、結(jié)論
① 斜拉橋施工最大雙懸臂狀態(tài)抖振響應(yīng)計算的基本公式匯總?cè)缦拢?br>
②結(jié)構(gòu)的背景響應(yīng)在整個抖振響應(yīng)中所占的比例一般不容忽略。通過分析，給出了基于不同振型的背景響應(yīng)比例因子的具體表達(dá)：
最后，通過算例較好地驗證了本文簡化方法的適用性。
參考文獻(xiàn)
【1】陳偉，大跨橋梁抖振反應(yīng)譜研究。同濟大學(xué)博士學(xué)位論文，1993．3
【2】橋梁抖振反應(yīng)港及等效風(fēng)荷載研究，同濟大學(xué)土木工程防災(zāi)國家重點實驗室，1999．9
【3】南京長江二橋斜拉橋抗風(fēng)性能試驗研究（二），同濟大學(xué)土木工程防災(zāi)國家重點實驗室，1999．5
【4】南京長江二橋斜拉橋抗風(fēng)性能試驗研究（四），同濟大學(xué)土木工程防災(zāi)國家重點實驗室，1999．11
【5】荊沙長江公路大橋主橋抗風(fēng)研究（一），同濟大學(xué)土木工程防災(zāi)國家實驗室，1998．l
【6】福州市青州路閩江大橋結(jié)合梁斜拉橋抗鳳性能試驗研究（一），同濟大學(xué)土木工程防災(zāi)國家重點實驗室，1998．3
關(guān)鍵詞 斜拉橋 抖振 最大雙懸臂 背景響應(yīng) 振型假設(shè)
大跨斜拉橋在外部風(fēng)荷載的作用下，結(jié)構(gòu)上的抖振響應(yīng)是不容忽視的。一般來說，由于素流成分和運動分量之間的相互作用，各類風(fēng)致振動之間的相互干擾現(xiàn)象，以及各運動分量的氣動耦合和各階振型之間的耦會等因素，精確計算抖振響應(yīng)是較為困難的。但大量的風(fēng)洞試驗和理論計算表明，影響抖振振幅的主要是結(jié)構(gòu)前幾個振型的貢獻(xiàn)，尤其是基階振型的貢獻(xiàn)。因此在對結(jié)構(gòu)抖振響應(yīng)進(jìn)行初步分析時，可只取第一階振型來計算，從而對抖振響應(yīng)作出快速估計。
在斜拉橋的施工階段，抖振響應(yīng)也應(yīng)予以重視，因為施工中過大的抖振振幅將不利于橋上施工人員和施工機械的安全。在斜拉橋的橋塔建成后，主梁往往采用懸臂拼裝法施工。在主梁尚未在跨中合龍前，由于斜拉索、邊跨輔助墩以及施工臨時墩等結(jié)構(gòu)因素的影響，經(jīng)常會出現(xiàn)風(fēng)振不利狀態(tài)，加施工最大雙懸臂狀態(tài)和最大單懸臂狀態(tài)等，這種現(xiàn)象在大跨橋梁的風(fēng)洞試驗中也得到了證實，因此不能忽視斜拉橋施工階段的風(fēng)振響應(yīng)。考慮到施工周期的影響，可以在風(fēng)速取較低保證率的前提下分析斜拉橋施工階段的抖振。本文將重點討論斜拉橋施工最大雙懸臂狀態(tài)時的抖振響應(yīng)問題。
一、基本假定
為便于分析，在下面的公式推導(dǎo)及計算中，采用了如下基本假定：①橋梁結(jié)構(gòu)周圍的地形近似水平，且在足夠大的范圍內(nèi)，地表粗糙度沒有大的變化；②結(jié)構(gòu)是線彈性的，可以采用位移疊加原理心結(jié)構(gòu)對風(fēng)荷載的抖振響應(yīng)主要是第一階振型的貢獻(xiàn)，二階或更高階振型的影響可忽略不計。對于本文所討論的雙懸臂狀態(tài)，可近似將第一階振型取為一次比例函數(shù)的形式，即φ（X）＝X／L；④各振動模態(tài)間不存在氣動耦合；⑤風(fēng)速互譜的作用可以忽略不計，這樣處理給抖振力譜帶來的誤差僅在5％～7％之間［1］。
二、抖振位移響應(yīng)的簡化計算方法
1．基本理論
依據(jù)隨機振動理論，抖振位移響應(yīng)的根方差與功率譜密度函數(shù)之間存在著下面的關(guān)系：
以結(jié)構(gòu)水平側(cè)向抖振為例，其抖振位移響應(yīng)的根方差為：
2．公式推導(dǎo)
由聯(lián)合接受函數(shù)的表達(dá)可以看出其大小主要取決于振型函數(shù)的形式。由前面的基本假定，在下面的分析中，均假設(shè)跨度為2L（橋塔到兩個懸臂端的長度均假定為L）的橋梁結(jié)構(gòu)的第一階側(cè)向彎曲振型函數(shù)(即一階側(cè)擺）為φ1（x）＝x／L。則第一階振型的廣義質(zhì)量為mp=2/3m(x)L，其中，m（x）為主梁跨向單位長度質(zhì)量，在本文中均假定質(zhì)量沿跨長均勻分布，即有m（x）＝ m0。
其中， c＝λnL／U，λ為反映風(fēng)譜空間相關(guān)性的系數(shù)，一般偏保守地取為7。
將各項適當(dāng)合并后，得到側(cè)向抖振響應(yīng)根方差的表達(dá)：
其中，
下面采用曲線擬會的方法對它進(jìn)行近似求解。
上式中，右端第一項即為背景響應(yīng)分量，第二項為共振響應(yīng)分量。由此可以得到背景響應(yīng)與共振響應(yīng)之間的比值為
將風(fēng)速譜、聯(lián)合接受函數(shù)以及氣動導(dǎo)納函數(shù)（取為Sears函數(shù)）代人E（n）的表達(dá)式中，有
其中，f＝nz／U為莫寧坐標(biāo)； c＝λnL／U=λ（L／z）f，K＝Bω／U＝2π(B／z）f。
若令f1=n1z/U，則有
其中，T0，T1是對G（f）進(jìn)行指數(shù)曲線擬會求解積分值后的參數(shù)（見圖1，此處，L／Z＝10，B／Z＝0.5）。一般有
雖然實際曲線在低頻段與擬會曲線差異較大，但由于在擬合時以曲線和兩個坐標(biāo)軸間包圍的面積作為控制參數(shù)，因此，積分值的精度得到很好保證。經(jīng)研究，兩者的誤差在1％以內(nèi)。參數(shù)、可按下面的原則取值，即T0≈max［G（f）」，這樣將使擬會的誤差盡可能地減小。
參數(shù)T0，T1一般可由附表 1～2，對具體橋梁結(jié)構(gòu)的參數(shù)L／Z，B／Z，通過線性內(nèi)插得到。
經(jīng)整理，最后可得側(cè)向抖振響應(yīng)根方差的最大值（振型函數(shù)值為1處，即懸臂端）為
3．豎向及扭轉(zhuǎn)抖振位移響應(yīng)的計算
這兩種振動形式的處理與上面所述的側(cè)向運動有所不同，主要體現(xiàn)在抖振力譜的表達(dá)形式上。豎向和扭轉(zhuǎn)抖振力譜分別為
式（12）、（13）均是兩項和的形式，因此可以對各項單獨考慮，而后再組合在一起。此處略去具體的處理過程，僅給出具體結(jié)果。豎向抖振響應(yīng)根方差的最大值為
TO1，T11，T02，T12為擬合參數(shù)，其中，T01，T11的選取與上節(jié)T0，T1的選取完全相同，
具體可參見附表1、附表2；參數(shù)T01，T12的選取則參見附表3、附表4。
同理可得扭轉(zhuǎn)抖振響應(yīng)根方差最大值的簡化表達(dá)為：
4．結(jié)構(gòu)背景響應(yīng)分析
在上面的一系列抖振響應(yīng)表達(dá)式中，均涉及到參數(shù)α。它定義為結(jié)構(gòu)背景響應(yīng)部分與共振響應(yīng)部分的比值（該處所謂的響應(yīng)是廣義的，并不是具體的抖振響應(yīng)數(shù)值）。一般來說，背景響應(yīng)在一定的條件下，有可能超過共振響應(yīng)從而占據(jù)主導(dǎo)地位；因此，背景響應(yīng)部分一般不容忽略。
若僅考慮共振響應(yīng)，則各振型的抖振響應(yīng)根方差可表達(dá)為
根據(jù)參數(shù)α的定義，可以計算出背景響應(yīng)在結(jié)構(gòu)總體響應(yīng)中所占的比例。令背景響應(yīng)比例因子為β，則有
分別代入三個方向的抖振響應(yīng)根方差，就可以得到產(chǎn)基于不同振型的表達(dá)：
關(guān)于背景響應(yīng)比例因子的討論，可參見下節(jié)的算例分析。
三、算例分析
1．基本資料
（l）南京長江二橋
該橋位于長江在南京河段的八卦洲漢道處。其中南漢主航道橋設(shè)計方案為帶輔助墩的雙塔斜索面銅箱梁斜拉橋，主跨628m。橋塔為混凝土結(jié)構(gòu)，由雙柱組成倒Y形，主梁為帶風(fēng)嘴的閉口鋼箱梁。
（2）福州閩江大橋
該橋位于福州市馬尾區(qū)青州路及長樂縣籌東村之間，是福州長樂國際機場連接福州市區(qū)的專用通道上跨越閩江的交通工程。新方案為主跨 605m的 A型雙塔斜索面、 Ⅰ字型邊主梁結(jié)合梁斜拉橋。
（3）荊沙長江大橋（北漢）
該橋位于湖北省荊沙市，北起荊沙市太岳路與南湖路交叉口，與南岸公安縣陳沙公路相接。其中北漢通航孔橋為主跨500m的H型雙塔雙索面預(yù)應(yīng)力混凝土斜拉橋，主梁采用分離式邊主梁斷面。
三座大橋用于抖振響應(yīng)計算的基本數(shù)據(jù)一并列于表1中。
2．計算結(jié)果及分析
表2給出了用本文所述方法對三座大橋施工最大雙懸臂狀態(tài)的懸臂端抖振位移響應(yīng)根方差和背景響應(yīng)比例因子的計算結(jié)果，并與數(shù)值計算的結(jié)果進(jìn)行了比較。
計算結(jié)果分析：
①誤差分析。在不考慮背景響應(yīng)時，采用本文簡化方法的計算結(jié)果與文獻(xiàn)中給出的結(jié)果較為接近，誤差基本上在20％以內(nèi)，在大跨橋梁抗風(fēng)設(shè)計的初步階段，可用來對結(jié)構(gòu)的抖振響應(yīng)做出快速估計。
②背景響應(yīng)的影響。結(jié)構(gòu)的背景響應(yīng)在一定條件下會很顯著，甚至超越共振響應(yīng)從而占據(jù)主導(dǎo)地位。從表中還可以看出，豎向抖振響應(yīng)的背景分量一般均較小，這主要是由于結(jié)構(gòu)一階豎彎頻率都較低的原因。一般地，結(jié)構(gòu)的跨度、寬度、阻尼比、頻率以及風(fēng)速、地表粗糙程度等都會對背景響應(yīng)產(chǎn)生一定的影響。
四、結(jié)論
① 斜拉橋施工最大雙懸臂狀態(tài)抖振響應(yīng)計算的基本公式匯總?cè)缦拢?br>
②結(jié)構(gòu)的背景響應(yīng)在整個抖振響應(yīng)中所占的比例一般不容忽略。通過分析，給出了基于不同振型的背景響應(yīng)比例因子的具體表達(dá)：
最后，通過算例較好地驗證了本文簡化方法的適用性。
參考文獻(xiàn)
【1】陳偉，大跨橋梁抖振反應(yīng)譜研究。同濟大學(xué)博士學(xué)位論文，1993．3
【2】橋梁抖振反應(yīng)港及等效風(fēng)荷載研究，同濟大學(xué)土木工程防災(zāi)國家重點實驗室，1999．9
【3】南京長江二橋斜拉橋抗風(fēng)性能試驗研究（二），同濟大學(xué)土木工程防災(zāi)國家重點實驗室，1999．5
【4】南京長江二橋斜拉橋抗風(fēng)性能試驗研究（四），同濟大學(xué)土木工程防災(zāi)國家重點實驗室，1999．11
【5】荊沙長江公路大橋主橋抗風(fēng)研究（一），同濟大學(xué)土木工程防災(zāi)國家實驗室，1998．l
【6】福州市青州路閩江大橋結(jié)合梁斜拉橋抗鳳性能試驗研究（一），同濟大學(xué)土木工程防災(zāi)國家重點實驗室，1998．3
